ゴルトンボードと正規分布

1 個ずつ落とすときの厳密な分布

$n$ 段の釘を通る玉は、各段で左右のどちらかに 1/2 ずつで分かれます。右に折れた回数を $X$ とすると、落ちる樋の番号がそのまま $X$ です。

平均は $n/2$、分散は $n/4$ です。これは近似ではなく厳密な値で、シミュレーションはこの分布に一致しなければなりません。

盤面

玉は釘の上で跳ねる時間がばらつくため、各ティックで確率 0.5 で 1 段下に進み、そうでなければその場に留まります。1 つのセルに入れる玉は 1 個までで、行き先が両方とも埋まっている玉は進めません (この状態を橙色で描いています)。

投入 0 / 500 個、到達 0 個、盤上 0 個、詰まった回数 0 回。

2 つのモードの分布

下のグラフは 4000 個を最後まで落としきった結果です。灰色の棒が厳密な二項分布、破線が正規近似です。単発は棒にほぼ重なり、干渉ありは中央が削れて裾が持ち上がります。

観測度数 $O_k$ と、厳密な二項分布から決まる期待度数 $E_k = N \binom{n}{k} 2^{-n}$ を Pearson の $\chi^2$ 統計量で比べます。期待度数が 5 未満の樋は隣とまとめてから計算し、母数を推定していないので自由度は (まとめたあとの区間数) $- 1$ です。

単発は $p$ 値が大きく、二項分布と矛盾しません。干渉ありは玉数を増やすほど $p$ 値が 0 に落ちます。「別シード」で何度引き直しても、この向きは変わりません。

なぜ干渉すると崩れるのか

二項分布が出るための仮定は、各段の左右が確率 1/2 で、しかも互いに独立、という 2 点だけです。玉が詰まると 空いている側にしか行けない ため、その 1 回の分岐は確率 1/2 ではなくなり、しかも「どちらが空いているか」は他の玉の位置で決まるので、独立性も同時に壊れます。

混雑は中央で最も強く起きます。玉が集まるのは中央だからです。結果として中央から押し出された玉が裾に回り、分布は二項分布より平たくなります — 分散が $n/4$ より大きくなるのがその現れです。投入間隔を広げるほど詰まりが減り、分布は二項分布に戻ります。

なお、釘の上での滞留そのものは分布を変えません。滞留は「いつ着くか」を変えるだけで「どこに着くか」は変えないからです。滞留がなければ全部の玉が毎ティック 1 段ずつ落ち、同じ段に 2 個並ぶことすらありません。滞留は、玉同士を出会わせるための仕掛けです。

二項分布から正規分布への誤差

段数を増やすと二項分布は正規分布に近づきます (de Moivre–Laplace の定理)。整数 $k$ を区間 $[k - 1/2,\, k + 1/2]$ とみなす連続性補正を入れて、両者の CDF の最大差を測ったのが下の表です。

右の列がほぼ一定なので、誤差は $0.027 / n$ 程度で減っています。Berry–Esseen の一般の評価は $O(1/\sqrt{n})$ ですが、$p = 1/2$ の二項分布は左右対称で歪度が 0 なので、Edgeworth 展開の $1/\sqrt{n}$ 項が消え、連続性補正と合わせて $O(1/n)$ まで速くなります。

ここで使った $\Phi$ と $\chi^2$ の上側確率は、どちらも不完全ガンマ関数 $P(a, x)$ の級数と連分数から倍精度いっぱいまで計算しています。検証する側が別のシミュレーションになっていないという意味で、この表は厳密です。

ランダムサンプリングの収束の速さそのものについては Monte Carlo 収束比較 も参照してください。