Heighway Dragon

紙テープを同じ向きに何度も半分に折り、すべての折り目を直角に開くと現れる曲線です。折り目の左右は「何回目の折りか」だけで決まり、その単純な規則から自己相似なフラクタルが立ち上がります。

折り目の決まり方

$n$ 回折ったテープには $2^n - 1$ 本の折り目ができ、開いたあとの線分は $2^n$ 本になります。 $i$ 番目の折り目は、 $i$ から 2 の因子を取り除いた奇数部 $m$ だけで決まります。

i = m \cdot 2^k \quad (m \text{ は奇数})

このとき $m \equiv 1 \pmod 4$ なら右折、 $m \equiv 3 \pmod 4$ なら左折です。折り目の列は R R L R R L L … と続きます。

なぞり順前半 / 後半

折る回数

n = 12　4096 本

1 つ前 (n = 11) を重ねる

色は歩いた順です。線が何度も折り返しながら、それでも一度も自分と交差しないことが追えます。

$i$ を 2 進数で見ると、末尾の 0 を落とした残りの下 2 桁が $01$ なら右、 $11$ なら左になります。

i	2 進数	奇数部 m	m mod 4	折り
1	1	1	1	右 (R)
2	10	1	1	右 (R)
3	11	3	3	左 (L)
4	100	1	1	右 (R)
5	101	5	1	右 (R)
6	110	3	3	左 (L)
7	111	7	3	左 (L)
8	1000	1	1	右 (R)
9	1001	9	1	右 (R)
10	1010	5	1	右 (R)
11	1011	11	3	左 (L)
12	1100	3	3	左 (L)

n = 12 では折り目が 4095 本あるため、列そのものの表示は省いています。

この曲線は「各辺を決まった形に置き換える」という作り方でも書けます。置き換えの形（テンプレート）と、置き換えをどちら向きに当てるかの 2 つを決めるだけで、性格の違う曲線が同じ仕組みから出てきます。

直角（2 分割）コッホ（4 分割）

交互固定

置き換え回数

12 回　4096 本

1 つ前 (11 回) を重ねる

ヘイウェイ・ドラゴン

直角のテンプレートは、向きを交互にするとヘイウェイ・ドラゴン、固定するとレヴィ C 曲線になります。置き換えの形は同一で、違いは向きだけです。同じ枠にコッホのテンプレート（中央 1/3 を三角形の 2 辺に置き換える）を入れれば、固定でコッホ曲線が出てきます。